保持规则前件信息的概念约简

李炎; 赵思雨; 任睿思; 魏玲

doi:10.16152/j.cnki.xdxbzr.2023-05-012

您当前的位置：

首页 >

文章列表页 >

保持规则前件信息的概念约简

形式概念分析中的概念约简 | 更新时间：2023-10-30

- 保持规则前件信息的概念约简
- Concept reduction preserving antecedent information of rules
- 角色： First author , 第一作者 ,
  
  机构：
  西北大学　数学学院，陕西　西安　710127
  西北大学　概念、认知与智能研究中心，陕西　西安　710127
  
  邮箱： leeyan1026@163.com
  
  简介：李炎，女，从事形式概念分析、粒计算、三支决策理论研究，leeyan1026@163.com。
  
  暂无本作者相关信息
  李炎
  ，
  角色：
  
  机构：
  西北大学　数学学院，陕西　西安　710127
  西北大学　概念、认知与智能研究中心，陕西　西安　710127
  
  邮箱：
  
  暂无本作者相关信息
  赵思雨
  ，
  角色：
  
  机构：
  西北大学　数学学院，陕西　西安　710127
  西北大学　概念、认知与智能研究中心，陕西　西安　710127
  
  邮箱：
  
  暂无本作者相关信息
  任睿思
  ，
  角色： Corresponding author , 通讯作者 ,
  
  机构：
  西北大学　数学学院，陕西　西安　710127
  西北大学　概念、认知与智能研究中心，陕西　西安　710127
  闽南师范大学　数学与统计学院，福建　漳州　363000
  
  邮箱： wl@nwu.edu.cn
  
  简介：魏玲，女，教授，博士生导师，从事形式概念分析、粒计算、三支决策理论等研究，wl@nwu.edu.cn。
  
  暂无本作者相关信息
  魏玲
  ，
- 西北大学学报（自然科学版） 2023年53卷第5期页码：803-811
- 作者机构：
  
  1.西北大学　数学学院，陕西　西安　710127
  2.西北大学　概念、认知与智能研究中心，陕西　西安　710127
  3.闽南师范大学　数学与统计学院，福建　漳州　363000
- 作者简介：
  
  李炎，女，从事形式概念分析、粒计算、三支决策理论研究，leeyan1026@163.com。
  魏玲，女，教授，博士生导师，从事形式概念分析、粒计算、三支决策理论等研究，wl@nwu.edu.cn。
- 基金信息：
  
  国家自然科学基金(12171392;62006190);西北大学研究生创新项目(CX2023065)
- DOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2023-05-012
  中图分类号：
扫描看全文
引用本文

阅读全文PDF
李炎, 赵思雨, 任睿思, 等. 保持规则前件信息的概念约简[J]. 西北大学学报（自然科学版）, 2023,53(5):803-811.

LI Yan, ZHAO Siyu, REN Ruisi, et al. Concept reduction preserving antecedent information of rules[J]. Journal of Northwest University (Natural Science Edition), 2023,53(5):803-811.
李炎, 赵思雨, 任睿思, 等. 保持规则前件信息的概念约简[J]. 西北大学学报（自然科学版）, 2023,53(5):803-811. DOI： 10.16152/j.cnki.xdxbzr.2023-05-012.

LI Yan, ZHAO Siyu, REN Ruisi, et al. Concept reduction preserving antecedent information of rules[J]. Journal of Northwest University (Natural Science Edition), 2023,53(5):803-811. DOI： 10.16152/j.cnki.xdxbzr.2023-05-012.

保持规则前件信息的概念约简

李炎 ; 赵思雨 ; 任睿思 ; 魏玲 ;

PDF下载

摘要

该文将形式背景上保持二元关系不变的概念约简扩展到决策形式背景，在弱协调决策形式背景上，研究保持规则前件信息的概念约简问题。首先，根据决策形式背景获得规则，仅考虑规则前件集合中的二元关系将条件子背景进行压缩，构造前件背景；其次，针对前件背景提出保持规则前件信息的概念约简，借助代表概念矩阵给出概念协调集的判定定理；最后，根据概念在概念约简中所起的作用，将所有概念分成3类，并从最小代表概念矩阵的角度讨论3类概念的概念特征。

Abstract

This paper extends the concept reduction in formal context to formal decision context, and studies the concept reduction preserving antecedent information of rules in weakly consistent formal decision context. Firstly, the conditional subcontext is compressed to form the antecedent context by only considering the binary relation in the antecedent of the rules of formal decision context. Then, we propose the concept reduction preserving antecedent information of rules for the antecedent context, and give the judgment theorem of concept consistent set by representative concept matrix. Finally, we classify all formal concepts into three parts according to the role of each formal concept in concept reduction, and discuss the concept characteristics of three types of formal concepts from the perspective of the minimal representative concept matrix.

译

关键词

决策形式背景; 规则; 前件背景; 概念约简; 概念特征

Keywords

formal decision context; rule; antecedent context; concept reduction; concept characteristics

译

形式概念分析(formal concept analysis, FCA)是由德国数学家Wille于1982年首次提出^[

1]，此后，由Ganter等多位学者逐步发展完善^{[参考文献 2

百度学术

2]}。形式概念分析已成为数据分析与处理的有效工具，被广泛应用于关联分析^{[参考文献 3

百度学术

3]}、推荐系统^{[参考文献 4

百度学术

4]}、知识发现^{[参考文献 5

百度学术

5]}等领域。

约简理论是形式概念分析中重要的研究方向之一。2005年张文修等首次提出保持概念格结构的属性约简理论，并给出了属性约简的一般研究框架^[

6]。随后，不少学者在此框架下深入研究了保持其他特性的属性约简^{[参考文献 7-9

7-9]}。虽然在特定语义下进行的属性约简可以简化形式背景，但在一定程度上会损失部分原始信息。鉴于此，魏玲等于2018年提出了概念约简这个新的研究方向，已逐步引起学者们的关注^{[参考文献 10-11

10-11]}。谢小贤等通过布尔矩阵运算研究了概念特征与概念约简方法^{[参考文献 12

百度学术

12]}；李俊余等研究了三元背景上保持所有三元关系不变的三元概念约简^{[参考文献 13

百度学术

13]}；王霞等通过定义概念可辨识矩阵给出了获取全部概念约简的方法^{[参考文献 14

百度学术

14]}；智慧来等研究了面向对象概念的概念约简问题^{[参考文献 15

百度学术

15]}；Zhao等通过定义代表概念矩阵，给出了一种较为简单、直观的概念约简求解方法^{[参考文献 16

百度学术

16]}；Zhou等基于形式概念的矩阵理论，对3类概念进行概念特征分析^{[参考文献 17

百度学术

17]}。

规则获取一直是知识发现研究领域的热点问题，众多学者从不同角度研究了决策形式背景的属性约简问题。魏玲等通过定义强弱协调性，探讨了决策形式背景的属性约简^[

18]；陈雪等在属性三支协调下，探讨了保持非冗余规则信息不丢失的属性约简^{[参考文献 19

百度学术

19]}；Wei等从三支概念格的角度给出了决策形式背景的规则提取方法^{[参考文献 20

百度学术

20]}；Chen等研究了大规模决策形式背景的属性约简问题^{[参考文献 21

百度学术

21]}；李金海等对规则提取的相关研究成果进行了梳理、总结与展望^{[参考文献 22

百度学术

22]}。

在属性约简理论框架下，决策形式背景中的属性约简研究已相对完善，通过挖掘有意义的决策知识，以满足决策者的不同需求。而在概念约简理论框架下，目前还没有对决策形式背景展开概念约简的相关研究。因此，本文基于文献[

10-11]中概念约简的思想，在保持规则前件信息不变的条件下，设法用部分概念反映规则前件的全部信息，继而探讨弱协调决策形式背景中的概念约简问题。

1 预备知识

定义1 ^[

1]　设(G，M，I)是形式背景。其中：G=｛g₁，g₂，…，g_p｝为对象集，g_i(i≤p)称为对象；M=｛m₁，m₂，…，m_q｝为属性集，m_j(j≤q)称为属性；I为G与M之间的二元关系，I⊆G×M。若(g，m)∈I，则表示对象g具有属性m，记为gIm。

在形式背景(G，M，I)中，对任意的X⊆G，B⊆M，Wille^[

1]定义了一对诱导算子为

$\text{[math]}$

(1)

$\text{[math]}$

(2)

式中：X^*表示集合X中所有对象共同具有的属性集合；B^*表示共同拥有集合B中所有属性的对象集合。这对诱导算子的性质见文献[2]。

对于任意X⊆G，B⊆M，如果二元组(X，B)满足X^*=B且B^*=X，则称(X，B)是一个形式概念。其中X称为概念(X，B)的外延，B称为其内涵。

用L(G，M，I)表示形式背景(G，M，I)的全体概念，记(X₁，B₁)≤(X₂，B₂)⇔X₁⊆X₂(⇔B₂⊆B₁)，则≤是L(G，M，I)上的偏序关系，从而(L(G，M，I)，≤)是偏序集。其中，下确界和上确界分别为

$\text{[math]}$

时，L(G，M，I)是完备格，称为(G，M，I)的概念格^[

2]。

对于任意两个概念(X₁，B₁)，(X₂，B₂)，若(X₁，B₁)≤(X₂，B₂)，则称(X₁，B₁)为(X₂，B₂)的亚概念，(X₂，B₂)为(X₁，B₁)的超概念。

为了得到由概念格形成的规则，文献[

18, 23]提出了决策形式背景的概念，并给出了决策形式背景协调性的定义。

定义2 ^[

23]　设(G，M，I)和(G，T，J)为形式背景且M∩T=∅，称五元组(G，M，I，T，J)为决策形式背景。其中：M为条件属性集；T为决策属性集。

称(G，M，I)为条件子背景，(G，T，J)为决策子背景，相应的概念格分别称为条件格和决策格。

设L(G，M₁，I₁)和L(G，M₂，I₂)是两个概念格。若存在单射f：L(G，M₂，I₂)→L(G，M₁，I₁)，满足：① f((G，∅))=(G，∅), f((∅，M₂))=(∅，M₁)；② 对任意(X，B)∈L(G，M₂，I₂), f((X，B))的外延包含于X，则称f是L(G，M₂，I₂)到L(G，M₁，I₁)的蕴含映射。若存在L(G，M₂，I₂)到L(G，M₁，I₁)的一个蕴含映射，则称L(G，M₁，I₁)弱细于L(G，M₂，I₂)，记作L(G，M₁，I₁)≤L(G，M₂，I₂)。

定义3 ^[

18]　设(G，M，I，T，J)为决策形式背景，如果L(G，M，I)≤L(G，T，J)，那么称(G，M，I，T，J)是弱协调的，否则为不协调的。

定义4 ^[

24]　设(G，M，I，T，J)为决策形式背景，对于任意的(X，B)∈L(G，M，I)，(Y，C)∈L(G，T，J)，若X⊆Y，且X，B，Y，C≠∅，则称(X，B)→(Y，C)是规则，其中(X，B)称为(X，B)→(Y，C)的前件，(Y，C)称为(X，B)→(Y，C)的结论。

记条件格L(G，M，I)到决策格L(G，T，J)的所有规则集合为 $\text{[math]}$ (M，T)，即 $\text{[math]}$ (M，T)=｛(X，B)→(Y，C)|X⊆Y，(X，B)∈L(G，M，I)，(Y，C)∈L(G，T，J)｝。

设(X，B)→(Y，C)，(X′，B′)→(Y′，C′)∈ $\text{[math]}$ (M，T)，若B⊆B′，C′⊆C，则称(X，B)→(Y，C)蕴含(X′，B′)→(Y′，C′)，并称(X′，B′)→(Y′，C′)是冗余的，记所有非冗余规则构成的集合为 $\text{[math]}$ 。

2 保持规则前件信息的概念约简

2.1 条件子背景的压缩

条件子背景的二元关系I存储了对象与属性之间的所有信息，但其中存在一些对获取规则无关的信息，为简化数据，首先对条件子背景进行压缩。压缩时为保留规则前件的完整信息，考虑定义4的所有规则，给出前件背景的定义。

定义5 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，R(G，M，I)=｛(X，B)|(X，B)→(Y，C)，(X，B)∈L(G，M，I)｝为所有规则前件的概念集合。令G′=∪｛X|(X，B)∈R(G，M，I)｝，M′=∪｛B|(X，B)∈R(G，M，I)｝，I_R=∪｛X×B|(X，B)∈R(G，M，I)｝，称(G′，M′，I_R)为弱协调决策形式背景(G，M，I，T，J)的前件背景，其概念格记为L(G′，M′，I_R)。

由定义5知，前件背景即由决策形式背景的所有规则前件重新构造的背景，它是条件子背景的一个子背景，且R(G，M，I)⊆L(G′，M′，I_R)。

性质1 　设R(G，M，I)是所有规则前件的概念集合，对于任意的(X，B)∈R(G，M，I)，令S=｛(X_i，B_i)|(X_i，B_i)≤(X，B)，(X_i，B_i)∈L(G，M，I)，i∈τ｝，则S⊆R(G，M，I)。

证明　设(X，B)∈R(G，M，I)，则存在(Y，C)∈L(G，T，J)，使得X⊆Y。对于任意(X_i，B_i)∈L(G，M，I)，(X_i，B_i)≤(X，B)，有X_i⊆X，故X_i⊆Y，则(X_i，B_i)→(Y，C)，即(X_i，B_i)∈R(G，M，I)，故S⊆R(G，M，I)。

性质1表明对于任意规则前件(X，B)，(X，B)的所有亚概念都是规则前件。

性质2 　设(G′，M′，I_R)为弱协调决策形式背景(G，M，I，T，J)的前件背景，对于任意g∈G′，有｛g｝×g^*∈I_R。

证明　对于任意g∈G′，由定义5知，存在(X，B)∈R(G，M，I)，使得g∈X，且(X，B)∈L(G，M，I)，显然有X=B^*，g∈B^*，则B=B^**⊆g^*。又因为B=X^*，故X^*⊆g^*，则有g^**⊆X^**=X，因此，(g^**，g^*)≤(X，B)。由性质1知，(g^**，g^*)∈R(G，M，I)，由R(G，M，I)⊆L(G′，M′，I_R)，进而(g^**，g^*)∈L(G′，M′，I_R)，则g^**×g^*∈I_R，又｛g｝⊆g^**，故｛g｝×g^*∈I_R。

为进一步说明前件背景与条件子背景之间的关系，给出封闭关系的定义。

定义6 ^[

2]　如果形式背景(G，M，J)的每个概念都是形式背景(G，M，I)的概念，那么，关系J⊆I称为形式背景(G，M，I)的一个封闭关系。

性质1和性质2表明，R(G，M，I)是由一些概念及其所有亚概念构成的集合。利用R(G，M，I)构造前件背景，它会保留条件子背景中对象集为G′的整行对象信息。基于此，前件背景不会生成除条件格外其他的概念，即前件背景的二元关系是条件子背景的封闭关系。因此，得出以下性质。

性质3 　设(G′，M′，I_R)为弱协调决策形式背景(G，M，I，T，J)的前件背景，则I_R是条件子背景(G，M，I)的封闭关系。

例1 ^[

25]　表1为中国港口危险品事故分析的决策形式背景(G，M，I，T，J)。G=｛1，2，3，4，5，6，7，8｝表示8起港口危险品事故，M=｛a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉｝表示危险品事故发生因素。其中：a₁为人员专业性；a₂为操作规范；a₃为仓库储存；a₄为企业经营；a₅为监督管理；a₆为设施与设备；a₇为应急管理；a₈为货物登记；a₉为自然因素。I为对象和条件属性之间的二元关系。其中：0表示对应行事故在对应列因素下合格；1表示不合格。T=｛d₁，d₂，d₃｝表示事故类型。其中：d₁为火灾；d₂为爆炸；d₃为泄露。J为对象和决策属性之间的二元关系。其中：0表示未发生该事故；1表示发生该事故。

表1 决策形式背景(G，M，I，T，J)

Tab. 1 Formal decision context(G，M，I，T，J)

G	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	a₈	a₉	d₁	d₂	d₃
1	1	1	0	0	1	0	0	0	0	1	1	0
2	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1
3	1	1	0	1	0	0	0	0	0	1	1	0
4	1	1	0	1	1	0	1	1	0	1	1	0
5	1	1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	1
6	0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	0	1
7	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	0
8	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1

下载: 导出CSV

条件格和决策格分别如图1和图2所示。其中，条件格L(G，M，I)有18个概念。为便于讨论，将每个概念以c_i(i=1，2，…，18)编号。

图1 概念格L(G，M，I)

Fig. 1 Concept lattice L(G，M，I)

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

图2 概念格L(G，T，J)

Fig. 2 Concept lattice L(G，T，J)

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

根据条件格L(G，M，I)和决策格L(G，T，J)，可以构造蕴含映射f₁：(G，∅)→c₁₈，(13457，d₂)→c₁₄，(2568，d₃)→c₄，(1347，d₁d₂)→c₃，(5，d₂d₃)→c₂，(∅，T)→c₁。因此，由定义3可知，决策形式背景(G，M，I，T，J)是弱协调的。

由定义4可知，条件子背景与决策子背景之间的所有规则构成的集合为

$\text{[math]}$

根据 $\text{[math]}$ 可得，所有规则前件的概念集合为R(G，M，I)=｛c₁，c₂，c₃，c₄，c₅，c₆，c₇，c₁₀，c₁₁，c₁₄｝。从图1可看出，c₁₄∈R(G，M，I)，c₁₄的所有亚概念为c₁、c₂、c₃、c₅、c₆、c₇、c₁₀、c₁₁，显然这些亚概念都属于R(G，M，I)，即满足性质1。

根据定义5，利用R(G, M, I)构造前件背景(G′，M′，I_R)如表2所示，其概念格L(G′，M′，I_R)如图3所示。其中，L(G′，M′，I_R)有15个概念。为便于讨论，将每个概念以c_i(i=1, 2, …，15)编号。

表2 形式背景(G′，M′，I_R)

Tab. 2 Formal context(G′，M′，I_R)

G′	a₁	a₂	a₃	a₄	a₅	a₆	a₇	a₈	a₉
1	1	1	0	0	1	0	0	0	0
3	1	1	0	1	0	0	0	0	0
4	1	1	0	1	1	0	1	1	0
5	1	1	0	1	1	1	1	1	0
6	0	0	1	0	1	0	1	1	0
7	1	1	1	1	1	1	1	0	1

下载: 导出CSV

图3 概念格L(G′，M′，I_R)

Fig. 3 Concept lattice L(G′，M′，I_R)

下载: 原图 | 高精图 | 低精图

对比表1和表2发现，(G，M，I)中危险品事故1、事故3、事故4、事故5、事故6、事故7的整行信息，完全保留在前件背景(G′，M′，I_R)，即满足性质2。

从图1和图3可以看出，L(G′，M′，I_R)中的任意概念都是L(G，M，I)中的概念，即I_R是条件子背景的封闭关系，则通过前件背景和决策子背景即可获取全部规则。

为便于后续讨论，由图2和图3找出该决策形式背景的所有非冗余规则集合为

$\text{[math]}$

依次记上述4条规则分别为r₁、r₂、r₃、r₄。规则r₁表明如果人员专业性、操作规范不合格时，则会发生爆炸；规则r₂表明如果仓库存储、监督管理、应急管理、货物登记不合格时，则会发生泄露；规则r₃表明如果人员专业性、操作规范、仓库存储、企业经营、监督管理、设施与设备、应急管理、自然因素不合格时，则会发生火灾和爆炸；规则r₄表明如果人员专业性、操作规范、企业经营、监督管理、设施与设备、应急管理、货物登记不合格时，则会发生爆炸和泄露。

2.2 概念约简的定义及存在性

给定前件背景(G′，M′，I_R)，I_R表示对象集G′与属性集M′之间的二元关系，同时I_R也存储了决策形式背景所有规则前件的信息，为保留这些信息并简化概念格，给出保持规则前件信息的概念约简的定义。

定义7 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)为其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为保持规则前件信息的概念协调集，本文简称概念协调集；若进一步，对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为保持规则前件信息的概念约简，本文简称概念约简。

概念协调集是保持前件背景中所有规则前件信息不丢失的概念格子集，概念约简是极小概念协调集。

定理1 　弱协调决策形式背景的保持规则前件信息的概念约简必存在。

证明　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)为其前件背景，L(G′，M′，I_R)是概念格。若对于任意(X，B)∈L(G′，M′，I_R)，有 $\text{[math]}$ ，则L(G′，M′，I_R)本身即为概念约简。若存在(X₁，B₁)∈L(G′，M′，I_R)，使得 $\text{[math]}$ ，则考虑 $\text{[math]}$ ，若对于任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为概念约简。否则，进一步考虑 $\text{[math]}$ 。重复上述过程，由于L(G′，M′，I_R)为有限集，则至少可以找到一个约简。因此，概念约简必存在。

2.3 概念协调集判定定理

定义8 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)为其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于任意g∈G′，m∈M′，(X，B)∈L(G′，M′，I_R)。若(g，m)∈X×B，则称(X，B)为(g，m)的代表概念。进一步，称REP((g，m))=｛(X，B)∈L(G′，M′，I_R)|(g，m)∈X×B｝为(g，m)的代表概念集，Λ=(REP((g，m))，g∈G′，m∈M′)_{|G′|×|M′|}为(G′，M′，I_R)的代表概念矩阵。

代表概念矩阵中，部分代表概念集之间存在包含关系，记Λ_min是由包含关系下所有代表概念极小集组成的矩阵，称Λ_min为(G′，M′，I_R)的最小代表概念矩阵。

下面从代表概念矩阵角度给出概念协调集的判定定理。

定理2 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)为其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于 $\text{[math]}$ ，以下命题等价：

1） $\text{[math]}$ 是概念协调集；

2）对任意 $\text{[math]}$ ；

3）对任意D⊆L(G′，M′，I_R)，若 $\text{[math]}$ ，则D∉Λ。

证明　1)⇒2)。假设 $\text{[math]}$ 是概念协调集，则有 $\text{[math]}$ 。那么，对于任意(g，m)∈I_R，存在 $\text{[math]}$ ，使得(g，m)∈X×B成立。因此，(X，B)∈REP((g，m))。故 $\text{[math]}$ 。

2）⇒1)。若对于任意 $\text{[math]}$ ，则存在 $\text{[math]}$ ，满足(X，B)∈REP((g，m))，使得 $\text{[math]}$ 和(g，m)∈X×B成立。因此， $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 是概念协调集。

2）⇒3)。若对于任意(g，m)∈I_R，D⊆L(G′，M′，I_R)，有 $\text{[math]}$ 和F $\text{[math]}$ 成立。假设D∈Λ，则存在(g₀，m₀)∈I_R，使得REP((g₀，m₀))=D。进一步地，有 $\text{[math]}$ ，与条件 $\text{[math]}$ 矛盾。故D∉Λ。

3）⇒2)。对于任意D⊆L(G′，M′，I_R)，若 $\text{[math]}$ ，有D∉Λ。反之，若D∈Λ，则有 $\text{[math]}$ 。又因为(g，m)∈I_R，那么，REP((g，m))∈Λ，故 $\text{[math]}$ 。

结合定义7和定理2可得概念约简的判定定理。

定理3 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)为其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于 $\text{[math]}$ ，如果满足条件：

1）对任意 $\text{[math]}$ ；

2）对任意 $\text{[math]}$ ，存在(g₀，m₀)∈I_R，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是概念约简。

定理3实际上给出了一种获取所有概念约简的方法，要找概念约简，就是对任意的(g，m)∈I_R，找满足 $\text{[math]}$ 的极小概念集合 $\text{[math]}$ 。

例2 　(续例1) 根据定义8可得到前件背景(G′，M′，I_R)的代表概念矩阵Λ为

$\text{[math]}$

最小代表概念矩阵Λ_min为

$\text{[math]}$

通过代表概念矩阵可知，该前件背景有12个概念约简：

$\text{[math]}$

以概念约简 $\text{[math]}$ 为例，如果需要知道所有规则前件拥有的信息，不需要图1中的所有概念，仅通过 $\text{[math]}$ 中的6个概念就能得到所有规则前件的信息。概念约简保持所有规则前件的信息，进而也会保持非冗余规则前件的信息。由例1可知，所有非冗余规则前件的概念集合为｛c₂，c₃，c₄，c₁₃｝，而 $\text{[math]}$ 含有规则前件c₂、c₃、c₄，相应就会直接保留与之对应的非冗余规则 $\text{[math]}$ 。

3 概念特征分析

定义9 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)为其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格，记 $\text{[math]}$ 为指标集｝为(G′，M′，I_R)的所有概念约简的集合，可将L(G′，M′，I_R)中的概念分为3类：

1）核心概念集 $\text{[math]}$ ；

2）相对必要概念集 $\text{[math]}$ ；

3）绝对不必要概念集 $\text{[math]}$ 。

例3 　(续例2) 由例2的概念约简结果，可将L(G′，M′，I_R)中的概念分为3类。核心概念集为 $\text{[math]}$ =｛c₃，c₁₀｝，相对必要概念集为 $\text{[math]}$ =｛c₂，c₄，c₅，c₆，c₈，c₉，c₁₁，c₁₃，c₁₄｝，绝对不必要概念集为 $\text{[math]}$ =｛c₁，c₇，c₁₂，c₁₅｝。

下面给出3类概念特征的判定定理。

定理4 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)是其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于任意(X，B)∈L(G′，M′，I_R)，(X，B)是核心概念当且仅当存在(g₀，m₀)∈I_R，有REP((g₀，m₀))=｛(X，B)｝。

证明　若(X，B)是核心概念⇔L(G′，M′，I_R)\｛(X，B)｝不是概念协调集⇔存在(g₀，m₀)∈I_R，使(L(G′，M′，I_R)\｛(X，B)｝)∩REP((g₀，m₀))=∅成立⇔REP((g₀，m₀))=｛(X，B)｝。

例4 　(续例2) 由于REP((7，a₉))=｛c₃｝，根据定理4知c₃是核心概念，则c₃存在于每个概念约简。同时，c₃是非冗余规则r₃：(7，a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₉)→(1347，d₁d₂)的前件，因此，每个概念约简都会得到与c₃对应的非冗余规则r₃。

下面给出核心概念的判定定理。

定理5 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)是其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。 $\text{[math]}$ 是(G′，M′，I_R)的概念约简，每个概念约简对应保留的非冗余规则集合记为 $\text{[math]}$ (M，T)。若∩ $\text{[math]}$ (M，T)=｛(X₀，B₀)→(Y₀，C₀)|(X₀，B₀)∈L(G′，M′，I_R)，(Y₀，C₀)→L(G，T，J)｝，则(X₀，B₀)是L(G′，M′，I_R)的核心概念。其中，i∈τ，τ指标集。

证明　 $\text{[math]}$ (M，T)是与概念约简 $\text{[math]}$ 对应保留的非冗余规则集合。若∩ $\text{[math]}$ (M，T)=｛(X₀，B₀)→(Y₀，C₀)|(X₀，B₀)∈L(G′，M′，I_R)，(Y₀，C₀)→L(G，T，J)｝，则(X₀，B₀)∈∩ $\text{[math]}$ ，即(X₀，B₀)∈ $\text{[math]}$ ，故(X₀，B₀)是L(G′，M′，I_R)的核心概念。

一个绝对不必要概念是不包含在任何概念约简中的概念，下面给出绝对不必要概念的判定定理。

定理6 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)是其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于任意(X，B)∈L(G′，M′，I_R)，(X，B)是绝对不必要概念当且仅当对于任意REP((g，m))∈Λ_min，有(X，B)∉REP((g，m))。

证明　下面证明定理6的逆否命题。

由定理3知，若存在REP((g₀，m₀))∈Λ_min，满足(X，B)∈REP((g₀，m₀))⇔存在概念约简 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，即(X，B)不是绝对不必要概念。

结合定理5和定理6，容易得到相对必要概念的概念特征。

定理7 　设(G，M，I，T，J)为弱协调决策形式背景，(G′，M′，I_R)是其前件背景，L(G′，M′，I_R)是其概念格。对于任意(X，B)∈L(G′，M′，I_R)，(X，B)是相对必要概念当且仅当存在REP((g，m))∈Λ_min，有(X，B)∈REP((g，m))成立，且对于任意(g₀，m₀)∈I_R，有REP((g₀，m₀))≠｛(X，B)｝。

例5 　(续例2) 对任意的REP((g，m))∈Λ_min，c₇∉REP((g，m))，根据定理6可知c₇是绝对不必要概念；存在REP((4，a₈))∈Λ_min，使c₈∈REP((4，a₈))，且对于任意(g₀，m₀)∈I_R，REP((g₀，m₀))≠｛c₈｝，根据定理7可知c₈是相对必要概念。

4 结语

概念约简是形式概念分析领域中一种新的约简理论，它既能保留形式背景的信息，又可以简化概念格。本文将概念约简思想运用到决策形式背景，讨论决策形式背景上保持规则前件信息的概念约简问题。首先，为简化数据节省储存空间，对条件子背景压缩构造前件背景；其次，提出了保持规则前件信息的概念约简，并得到了获取所有概念约简的方法；最后，从最小代表概念矩阵角度讨论了3类形式概念的概念特征。

决策形式背景上的概念约简还有许多值得研究探讨的问题，如现实生活中涉及的非协调决策形式背景较多，未来可以考虑一般的决策形式背景上的概念约简问题。此外，还可以考虑条件格与决策格之间的联系，针对决策格讨论约简问题，这些都将会丰富概念约简理论。

参考文献

[1]

WILLE R. Restructuring lattice theory: An approach based on hierarchies of concepts [C]//Ordered Sets.Dordrecht-Boston: Springer, 1982: 445-470. [百度学术]

[2]

GANTER B,WILLE R. Formal concept analysis: Mathematical foundations [M]. New York: Springer-Verlag, 1999. [百度学术]

[3]

TU X D, WANG Y L, ZHANG M L, et al. Using formal concept analysis to identify negative correlations in gene expression data [J]. IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics, 2016, 13(2): 380-391. [百度学术]

[4]

ZOU C F, ZHANG D Q, WAN J F, et al. Using concept lattice for personalized recommendation system design [J]. IEEE Systems Journal, 2017, 11(1): 305-314. [百度学术]

[5]

NGUYEN P H P, CORBETT D. A basic mathematical framework for conceptual graphs [J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 2006, 18(2): 261-271. [百度学术]

[6]

张文修, 魏玲, 祁建军. 概念格的属性约简理论与方法[J]. 中国科学E辑：信息科学, 2005, 35(6): 628-639. [百度学术]

ZHANG W X, WEI L, QI J J. Attribute reduction theory and approach to concept lattice [J]. Science in China Series F-Information Sciences, 2005, 48(6): 713-726. [百度学术]

[7]

WANG X, MA J M. A novel approach to attribute reduction in concept lattices [C]//Proceedings of the International Conference on Rough Sets and Knowledge Technology. Berlin, Heidelberg: Springer, 2006: 522-529. [百度学术]

[8]

LI T J, LI M Z, GAO Y. Attribute reduction of concept lattice based on irreducible elements [J]. International Journal of Wavelets Multiresolution and Information Processing, 2013, 11(6): 2792-2813. [百度学术]

[9]

WU W Z, LEUNG Y, MI J S. Granular computing and knowledge reduction in formal contexts [J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 2009, 21(10): 1461-1474. [百度学术]

[10]

曹丽, 魏玲, 祁建军. 保持二元关系不变的概念约简[J]. 模式识别与人工智能, 2018, 31(6): 516-524. [百度学术]

CAO L, WEI L, QI J J. Concept reduction preserving binary relations [J]. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2018, 31(6): 516-524. [百度学术]

[11]

魏玲, 曹丽, 祁建军, 等. 形式概念分析中的概念约简与概念特征[J]. 中国科学：信息科学, 2020, 50(12): 1817-1833. [百度学术]

WEI L, CAO L, QI J J, et al. Concept reduction and concept characteristics in formal concept analysis[J]. Scientia Sinica Informationis, 2020, 50(12): 1817-1833. [百度学术]

[12]

谢小贤, 李进金, 陈东晓, 等. 基于布尔矩阵的保持二元关系不变的概念约简[J]. 山东大学学报(理学版), 2020, 55(5): 32-45. [百度学术]

XIE X X, LI J J, CHEN D X, et al.Concept reduction of preserving binary relations based on boolean matrix[J]. Journal of Shandong University(Natural Science Edition), 2020, 55(5): 32-45. [百度学术]

[13]

李俊余, 李星璇, 王霞, 等. 基于三元因子分析的三元概念约简[J]. 南京大学学报(自然科学), 2020, 56(4): 480-493. [百度学术]

LI J Y, LI X X, WANG X, et al. Reduction of triadic concepts based on triadic factor analysis[J]. Journal of Nanjing University(Natural Science Edition), 2020, 56(4): 480-493. [百度学术]

[14]

王霞, 彭致华, 李俊余, 等. 一种基于概念可辨识矩阵的概念约简方法[J]. 计算机科学, 2021, 48(1): 125-130. [百度学术]

WANG X, PENG Z H, LI J Y, et al.Method of concept reduction based on concept discernibility matrix[J]. Computer Science, 2021, 48(1): 125-130. [百度学术]

[15]

智慧来, 李逸楠. 形式概念分析中的面向对象概念约简[J]. 海南热带海洋学院学报, 2021, 28(5): 66-71. [百度学术]

ZHI H L, LI Y N. Object-oriented concept reduction in formal concept analysis [J]. Journal of Hainan Tropical Ocean University, 2021, 28(5): 66-71. [百度学术]

[16]

ZHAO S Y, QI J J, LI J A, et al.Concept reduction in formal concept analysis based on representative concept matrix [J]. International Journal of Machine Learning and Cybernetics, 2023, 14(4): 1147-1160. [百度学术]

[17]

ZHOU J Q, YANG S C, WANG X F. Concept and attribute reduction based on rectangle theory of formal concept [J]. Mathematical Foundations of Computing, 2023, 6(2): 178-189. [百度学术]

[18]

魏玲, 祁建军, 张文修. 决策形式背景的概念格属性约简[J]. 中国科学E辑：信息科学, 2008, 38(2): 195-208. [百度学术]

WEI L, QI J J, ZHANG W X. Attribute reduction theory of concept lattice based on decision formal contexts [J]. Science in China Series F-Information Sciences, 2008, 51(7): 910-923. [百度学术]

[19]

陈雪, 魏玲, 钱婷. 基于AE概念格的决策形式背景属性约简[J]. 山东大学学报(理学版), 2017, 52(12): 95-103. [百度学术]

CHEN X, WEI L, QIAN T. Attribute reduction in formal decision contexts based on AE-concept lattices[J]. Journal of Shandong University(Natural Science Edition), 2017, 52(12): 95-103. [百度学术]

[20]

WEI L, LIU L, QI J J, et al. Rules acquisition of formal decision contexts based on three-way concept lattices [J]. Information Sciences, 2020, 516: 529-544. [百度学术]

[21]

CHEN J K, MI J S, XIE B, et al. Attribute reduction informal decision contexts and its application to finite topological spaces[J]. International Journal of Machine Learning and Cybernetics, 2021, 12(1): 39-52. [百度学术]

[22]

李金海, 魏玲, 张卓, 等. 概念格理论与方法及其研究展望[J]. 模式识别与人工智能, 2020, 33(7): 619-642. [百度学术]

LI J H, WEI L, ZHANG Z, et al.Concept lattice theory and method and their research prospect[J]. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2020, 33(7): 619-642. [百度学术]

[23]

魏玲. 粗糙集与概念格约简理论与方法 [D]. 西安: 西安交通大学, 2005. [百度学术]

[24]

LI J H, MEI C L, LYU Y J. Knowledge reduction in decision formal contexts[J]. Knowledge-Based Systems, 2011, 24(5): 709-715. [百度学术]

[25]

CHEN J H, ZHENG H Y, WEI L, et al. Factor diagnosis and future governance of dangerous goods accidents in China’s ports [J]. Environmental Pollution, 2020, 257: 113582. [百度学术]

摘要

Abstract

关键词

决策形式背景规则前件背景概念约简概念特征

Keywords

formal decision contextruleantecedent contextconcept reductionconcept characteristics

references

WILLE R. Restructuring lattice theory: An approach based on hierarchies of concepts [C]//Ordered Sets.Dordrecht-Boston: Springer, 1982: 445-470.

GANTER B,WILLE R. Formal concept analysis: Mathematical foundations [M]. New York: Springer-Verlag, 1999.

ZOU C F, ZHANG D Q, WAN J F, et al. Using concept lattice for personalized recommendation system design [J]. IEEE Systems Journal, 2017, 11(1): 305-314.

NGUYEN P H P, CORBETT D. A basic mathematical framework for conceptual graphs [J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 2006, 18(2): 261-271.

张文修, 魏玲, 祁建军. 概念格的属性约简理论与方法[J]. 中国科学E辑：信息科学, 2005, 35(6): 628-639.

ZHANG W X, WEI L, QI J J. Attribute reduction theory and approach to concept lattice [J]. Science in China Series F-Information Sciences, 2005, 48(6): 713-726.

LI T J, LI M Z, GAO Y. Attribute reduction of concept lattice based on irreducible elements [J]. International Journal of Wavelets Multiresolution and Information Processing, 2013, 11(6): 2792-2813.

WU W Z, LEUNG Y, MI J S. Granular computing and knowledge reduction in formal contexts [J]. IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, 2009, 21(10): 1461-1474.

曹丽, 魏玲, 祁建军. 保持二元关系不变的概念约简[J]. 模式识别与人工智能, 2018, 31(6): 516-524.

CAO L, WEI L, QI J J. Concept reduction preserving binary relations [J]. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2018, 31(6): 516-524.

魏玲, 曹丽, 祁建军, 等. 形式概念分析中的概念约简与概念特征[J]. 中国科学：信息科学, 2020, 50(12): 1817-1833.

WEI L, CAO L, QI J J, et al. Concept reduction and concept characteristics in formal concept analysis[J]. Scientia Sinica Informationis, 2020, 50(12): 1817-1833.

谢小贤, 李进金, 陈东晓, 等. 基于布尔矩阵的保持二元关系不变的概念约简[J]. 山东大学学报(理学版), 2020, 55(5): 32-45.

XIE X X, LI J J, CHEN D X, et al.Concept reduction of preserving binary relations based on boolean matrix[J]. Journal of Shandong University(Natural Science Edition), 2020, 55(5): 32-45.

李俊余, 李星璇, 王霞, 等. 基于三元因子分析的三元概念约简[J]. 南京大学学报(自然科学), 2020, 56(4): 480-493.

LI J Y, LI X X, WANG X, et al. Reduction of triadic concepts based on triadic factor analysis[J]. Journal of Nanjing University(Natural Science Edition), 2020, 56(4): 480-493.

王霞, 彭致华, 李俊余, 等. 一种基于概念可辨识矩阵的概念约简方法[J]. 计算机科学, 2021, 48(1): 125-130.

WANG X, PENG Z H, LI J Y, et al.Method of concept reduction based on concept discernibility matrix[J]. Computer Science, 2021, 48(1): 125-130.

智慧来, 李逸楠. 形式概念分析中的面向对象概念约简[J]. 海南热带海洋学院学报, 2021, 28(5): 66-71.

ZHI H L, LI Y N. Object-oriented concept reduction in formal concept analysis [J]. Journal of Hainan Tropical Ocean University, 2021, 28(5): 66-71.

ZHOU J Q, YANG S C, WANG X F. Concept and attribute reduction based on rectangle theory of formal concept [J]. Mathematical Foundations of Computing, 2023, 6(2): 178-189.

魏玲, 祁建军, 张文修. 决策形式背景的概念格属性约简[J]. 中国科学E辑：信息科学, 2008, 38(2): 195-208.

WEI L, QI J J, ZHANG W X. Attribute reduction theory of concept lattice based on decision formal contexts [J]. Science in China Series F-Information Sciences, 2008, 51(7): 910-923.

陈雪, 魏玲, 钱婷. 基于AE概念格的决策形式背景属性约简[J]. 山东大学学报(理学版), 2017, 52(12): 95-103.

CHEN X, WEI L, QIAN T. Attribute reduction in formal decision contexts based on AE-concept lattices[J]. Journal of Shandong University(Natural Science Edition), 2017, 52(12): 95-103.

WEI L, LIU L, QI J J, et al. Rules acquisition of formal decision contexts based on three-way concept lattices [J]. Information Sciences, 2020, 516: 529-544.

李金海, 魏玲, 张卓, 等. 概念格理论与方法及其研究展望[J]. 模式识别与人工智能, 2020, 33(7): 619-642.

LI J H, WEI L, ZHANG Z, et al.Concept lattice theory and method and their research prospect[J]. Pattern Recognition and Artificial Intelligence, 2020, 33(7): 619-642.

魏玲. 粗糙集与概念格约简理论与方法 [D]. 西安: 西安交通大学, 2005.

LI J H, MEI C L, LYU Y J. Knowledge reduction in decision formal contexts[J]. Knowledge-Based Systems, 2011, 24(5): 709-715.

CHEN J H, ZHENG H Y, WEI L, et al. Factor diagnosis and future governance of dangerous goods accidents in China’s ports [J]. Environmental Pollution, 2020, 257: 113582.

浏览量

156

下载量

CSCD

文章被引用时，请邮件提醒。

提交

工具集

关联资源

基于属性概念的决策形式背景协调性研究

基于属性导出三支概念格的决策背景规则提取